在CPU计算场景中，我们经常使用双精度浮点类型double，也称为FP64或者float64。但是在机器学习和AI加速器计算场景下，由于参数规模巨大，我们很难也没有必要使用双精度数来存储和计算。
单精度浮点数
FP32或者float32是一种IEEE 754标准定义的浮点格式，它使用32个比特位表示一个浮点数，这些比特位包括一比特正负符号位，8个比特的指数位和23个比特的小数位。比特位结构布局如下：
当指数位不为0时，这32比特表示的浮点数V称为规格数，它由下列公式定义：
当exponent为0时，它表达的浮点数称为非规格数，由下列公式定义：
NPU或主流AI处理器在fast模式下都只能对规格数进行运算，非规格数将被转换为零，并且除法和平方根运算不会被计算到最接近真实值的浮点数值。
当exponent比特位全1时，表达的浮点数有特殊含义。如果此时fraction为0，则V为正负无穷大，如果fraction不为0，则V为NaN。
FP32格式能表示的绝对值最小规范浮点数为2-126，约等于1.18e-38。绝对值最大规范浮点数为2127 * [1 +(223 - 1)/223]，约等于3.4e38。在1附近，两个相邻浮点数差距为2-23，约为1.2e-7。所有位置上相邻浮点数的相对差距大约为1.2e-7。可见FP32的浮点精度很高。
半精度浮点数
由于大模型参数规模巨大，对AI加速器设备内存要求很大，所以使用16位半精度格式比32位单精度更有优势。另外半精度运算速度更快，精度对机器学习模型往往也能够满足要求。和主流AI处理器一样，最新的昇腾AI加速器也支持两种半精度浮点格式即FP16和BF16。
- FP16格式
FP16使用16个比特位表示一个浮点数。IEEE 754标准定义半精度浮点格式如下：
最高位为符号位sign，然后是5个比特指数位exponent，最后是10位的小数位fraction。
和FP32一样如果指数位非0，则能表示一个规格浮点数V，公式如下：
FP16非规格数这里不再赘述。
在1附近，相邻两个浮点数的间隔是2-10。任意位置的两个相邻浮点数的相对间隔也是2-10，大约是千分之一。FP16的精度误差带来的严重问题就是加法的大数吃小数。例如：
x = torch.tensor(1, dtype=torch.float16) y = torch.tensor(0.0001, dtype=torch.float16)
x+y仍然是1.0，因为1.0001 FP16没法表示，1后面FP16能表达的最小数为1.0009765625。
FP16能表达的最大绝对值规范浮点数为215 * (1+1023/1024)=65504，最小绝对值规格浮点数为2-14，约为6.1e-5。这意味着超出65504和小于6.1e-5的数FP16都没法表示，而这些数在大模型训练中都很常见。为了避免下溢，FP16需要结合Loss scale才能用于大模型训练。
- BF16格式
为了解决FP16表达范围偏小的问题，谷歌大脑研究组提出了bfloat16浮点格式，或者叫BF16。BF16的格式如下：
BF16相对于FP16，增大指数位宽到8（与FP32一样），将小数位宽减小到7。这样可以增大浮点表达范围，但同时牺牲了表达精度。当exponent不为0时，BF16浮点值公式如下：
在1.0附近，BF16可表示的相邻浮点数的间隔为1/128。任意位置的相邻浮点数相对间隔是1/128，可见BF16的精度是很低的，只是FP16的十分之一精度。BF16最大可表示的规范浮点数为2127 * (1+127/128 )，约为3.4e38, 绝对值最小的规范浮点数为2-126，约为1.176e-38。
BF16的精度在大部分大模型训练场景下仍然是足够的，但要注意某些特定运算，例如涉及累加，需要用更高精度的FP32完成。
综上所述，选择合适的浮点数精度对于优化模型训练过程至关重要，尤其是在处理因浮点精度引起的收敛问题时，需要结合文献研究成果和实践经验，并通过大量的对比实验进行调试和优化。